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Representação simplificada da realidade
“Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis.”
Mapeia entrada -> saída
\(y = w x + b\)
Incorpora uma função de ligação.
Mapeia a entrada para uma probabilidade
Função de ligação logit \(\phi(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\)
Superar as limitações de funções lineares
Mapeia as covariáveis em resultados por meio de multiplicação de matrizes e funções de ativação não lineares.
Aproximar uma função \(y = f(x)\) com \(y = f(x, \theta)\)
Aprende o valor dos parâmetros \(\theta\) que resultam na melhor aproximação da função
Requer esquelher a forma de otimização, função de custo, e função de saída
Ele afirma que uma rede neural com uma única camada oculta contendo neurônios suficientes pode aproximar qualquer função contínua em um intervalo fechado, desde que tenha uma função de ativação adequada (como a sigmoide ou ReLU - Se usarmos uma rede neural suficientemente poderosa, podemos pensar nela como sendo capaz de representar qualquer função ff dentro de uma ampla classe de funções, sendo essa classe limitada apenas por características como continuidade e delimitabilidade.
Rede composta de funções \(f(x) =f^{(3)}(f^{(2)}(f^{(1)}(x)))\).
Supervisionado, tenta aproximar do rótulo. o comportamento das outras camadas nao é ditado exatamente pelos dados e o algoritmo precisa decidir como usar essas camadas, com representações e como nao sao todas que bem o output sao chamadas de ocultas,
onde \(\phi(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\) representa a função de ativação logística (sigmoide).
\(f(x_{1i}, x_{2i}; \mathbf{\theta})=\hat{y}_i=\phi(x_{1i} w_1 + x_{2i} w_3 + b_1) w_5 + \phi(x_{1i} w_2 + x_{2i} w_4 + b_2) w_6 + b_3.\)
onde
\(\mathbf{W}^{(1)}=\)
\[\begin{pmatrix} w_1 & w_2 \\ w_3 & w_4 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{W}^{(2)}=\)
\[\begin{pmatrix} w_5 \\ w_6 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{b}^{(1)}=\)
\[\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{x}=\)
\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{h}=\)
\[\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix}\]\(\mathbf{a}=\)
\[\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\].
\(\hat{y} = f(x;θ)\) em função de x e θ. Use a função para calcular\(\hat{y}\) = para \(\theta = (0.1,...,0.1)\) e \(x = (1,1)\)
\[ J(\mathbf{\theta}) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m L(f(x_{1i}, x_{2i}; \mathbf{\theta}), y_i) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (y_i - \hat{y}_i)^2, \] onde \(x_{ji}\) representa a \(j\)-ésima covariável (feature) da \(i\)-ésima observação, \(\bftheta = (w_1, \ldots, w_6, b_1, b_2, b_3)\) é o vetor de pesos (parâmetros) e, pela definição da rede,
Não tem convergência garantida quando aplicada a funções não ocnvexas.
Sensível aos valores de inicialização
Esta sempre usando o descendente de uma forma ou de outra
Treinar pelo MSE equivale a maxima verossimilhança
negative log-likelihood helps toavoid this problem for many models. \
Rela;cão output e tipo de funcao de custo
# n<- 1000
# x1 <- runif(n, -6,6)
# x2 <- runif(n, -6,6)
# x <- tibble(x1=x1, x2=x2) %>%
# mutate(f=x1^4 + x2^4 + (x1^2)*x2 + x1*(x2^2) - 20*x1^2 - 15* x2^2)
n <- 1000
x1 <- seq(-5, 5, length.out=n)
x2 <- seq(-5, 5, length.out=n)
dados.grid <- as_tibble(expand.grid(x1, x2)) %>%
rename_all(~ c("x1", "x2")) %>%
mutate(f=x1^4 + x2^4 + (x1^2)*x2 + x1*(x2^2) - 20*x1^2 - 15* x2^2)
library(RColorBrewer)
nb.cols <- 15
mycolors <- colorRampPalette(rev(brewer.pal(10, "Blues")))(nb.cols)library(data.table)
f_linha_x1 <- function(x,y){4*x^3 + 2*x*y + y^2 -40*x}
f_linha_x2 <- function(x, y){4*y^3 + 2*x*y + x^2 - 30* y}
gradiente <- function(lr, partida, passos ){
ponto <- matrix(NA, passos, length(partida ))
ponto[1,] <- partida
for (i in 1:(passos-1)){
d1 <- f_linha_x1(ponto[i, 1], ponto[i,2])
d2 <- f_linha_x2(ponto[i, 1], ponto[i,2])
grad <- c(d1,d2)
ponto[(i+1),] <- ponto[i,] - lr*grad
}
return( ponto)
}
otim_sgd <- gradiente(lr=0.01, partida=c(0,5), passos=100)
set.seed(123)
caminhos <- map(1:20, ~{
inicio <- runif(2, -5,5)
gradiente(lr=0.01, partida=inicio, passos=100)
})ggplot() +
geom_contour_filled( aes(x=dados.grid$x1, y=dados.grid$x2, z=dados.grid$f))+
scale_fill_manual(values = mycolors)+
geom_path(aes(x=caminhos[[1]][,1], y=caminhos[[1]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[2]][,1], y=caminhos[[2]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[3]][,1], y=caminhos[[3]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[4]][,1], y=caminhos[[4]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[5]][,1], y=caminhos[[5]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[6]][,1], y=caminhos[[6]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[7]][,1], y=caminhos[[7]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[8]][,1], y=caminhos[[8]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[9]][,1], y=caminhos[[9]][,2]), color="red", size=1.2)+
geom_path(aes(x=caminhos[[10]][,1], y=caminhos[[10]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[11]][,1], y=caminhos[[11]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[12]][,1], y=caminhos[[12]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[13]][,1], y=caminhos[[13]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[14]][,1], y=caminhos[[14]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[15]][,1], y=caminhos[[15]][,2]), color= "pink")+
geom_path(aes(x=caminhos[[16]][,1], y=caminhos[[16]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[17]][,1], y=caminhos[[17]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[18]][,1], y=caminhos[[18]][,2]), color="yellow")+
geom_path(aes(x=caminhos[[19]][,1], y=caminhos[[19]][,2]))+
geom_path(aes(x=caminhos[[20]][,1], y=caminhos[[20]][,2]), color="green")+
theme_classic()+
labs(x="x1", y="x2")gradiente_mom <- function(lr, partida, passos, v, alfa ){
ponto <- matrix(NA, passos, length(partida ))
ponto[1,] <- partida
for (i in 1:(passos-1)){
d1 <- f_linha_x1(ponto[i, 1], ponto[i,2])
d2 <- f_linha_x2(ponto[i, 1], ponto[i,2])
grad <- c(d1,d2)
v <- alfa*v - lr*grad
ponto[(i+1),] <- ponto[i,] + v
}
return( ponto)
}
partida <- c(0,5)
v <- 0
lr <- 0.01
alfa <- 0.9
passos <- 100
otim_mom <- gradiente_mom(lr=lr, partida=partida, alfa=alfa, v=v, passos=100)
otim_mom[100,][1] 3.287451 -2.634870
Durante o treinamento, a propagação direta continua até produzir um escalar de custo ( J() ).
Esse custo representa o erro da rede ao comparar a previsão com o valor real.
O algoritmo de retropropagação (backprop, Rumelhart et al., 1986) permite que a informação do custo flua para trás pela rede.
O objetivo é calcular o gradiente da função de custo em relação aos parâmetros da rede.
A equação analítica do gradiente é simples, mas sua avaliação numérica pode ser computacionalmente cara.
O backpropagation oferece um procedimento simples e eficiente para esse cálculo.
Não é um algoritmo de aprendizado completo: Ele apenas calcula o gradiente, enquanto outro algoritmo (ex.: descida do gradiente estocástica) usa esse gradiente para atualizar os pesos.
Não é exclusivo de redes neurais profundas: Ele pode ser aplicado para calcular derivadas de qualquer função, desde que a derivada seja bem definida.
Nos algoritmos de aprendizado, o gradiente mais relevante é **( _J() )**, ou seja, a derivada da função de custo em relação aos parâmetros da rede. 🚀
O algoritmo de retropropagação (backpropagation) é projetado para reduzir o número de subexpressões repetidas, sem priorizar o uso de memória.
Ele realiza aproximadamente um produto Jacobiano por nó no grafo computacional.
No algoritmo 6.2, cada aresta do grafo (de ( u(j) ) para ( u(i) )) é visitada apenas uma vez para calcular a derivada parcial ( ).
Isso evita a explosão exponencial de cálculos redundantes.
Outros métodos podem melhorar ainda mais a eficiência:
Essas ideias serão retomadas após a explicação detalhada do backpropagation. 🚀
Use a regra da cadeia para encontrar expressões algébricas para o vetor gradiente.\[\nabla_\theta J(\theta) = \left(\frac{\partial J}{\partial w_1}, \ldots, \frac{\partial J}{\partial b_3} \right)\]
\[\nabla J_\theta = \sum_{i=1}^m(\frac{\partial J}{\partial \hat{y}_i} \nabla_\theta \hat{y}_i)\]
Então, para cada observação, temos que o primeiro elemento desse produto é o escalar:
\[\frac{\partial J}{\partial \hat{y}_i} = -2 ( y_i - \hat{y_i})\] Já o segundo elemento desse produto é, no caso dessa rede, um vetor de tamanho 9 onde:
Para o nono elemento (terceiro viés):
\[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial b_3} = 1\]
Para os pesos da cama de saída: \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_6} = \frac{1}{1+e^{-a_2}}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_5} = \frac{1}{1+e^{-a_1}}\]
Onde \(a_1 = x_1w_1 + x_2w_3 + b_1\) e \(a_2 = x_1w_2 + x_2w_4 + b_2\)
Poderia eu escrever matricialmente assim?
\[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial W^{(2)}} = \frac{1}{1+e^{-a}}\] Para os vieses da camada intermediária
\[ \frac{\partial \hat{y_i}}{\partial b_2} = w_6\frac{e^{-a_2}}{(1+e^{-a_2})^2} \]
\[ \frac{\partial \hat{y_i}}{\partial b_1} = w_5\frac{e^{-a_1}}{(1+e^{-a_1})^2} \]
Poderia escrever matricialmente assim? Talvez tenha que transpor alguma coisa…
\[ \frac{\partial \hat{y_i}}{\partial b} = W^{(2)}\frac{e^{-a}}{(1+e^{-a})^2} \]
Para os pesos entre a camada de entrada e a intermediária:
\[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_4} = w_6\frac{e^{-a_2}}{(1+e^{-a_2})^2}x_{2i}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_3} = w_5\frac{e^{-a_1}}{(1+e^{-a_1})^2}x_{2i}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_2} = w_6\frac{e^{-a_2}}{(1+e^{-a_2})^2}x_{1i}\] \[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial w_1} = w_5\frac{e^{-a_1}}{(1+e^{-a_1})^2}x_{1i}\]
Poderia ser escrito matricialmente assim?:
\[\frac{\partial \hat{y_i}}{\partial W^{(1)}} = W_{(2)}\frac{e^{-a}}{(1+e^{-a})^2}x\]
phi_linha <- function(x){
exp(-x)/(1+exp(-x))^2}
gradiente <- function (teta, x, y ){
n <- length(y)
W1 <- matrix(c(teta[1:4]), 2, 2, byrow=T)
W2 <- matrix(c(teta[5:6]), 2, 1, byrow=T)
b <- c(teta[7], teta[8])
a <- t(W1)%*%t(x) + b
h <- phi(a)
y_hat <- t(W2)%*%h + teta[9]
y_hat <- as.numeric(y_hat)
# Jacobiano perda
d_Jota<- -2*(y-y_hat)
# vies 2 camada (saida)
grad_b3 <- mean(d_Jota *1)
# pesos 2 camada
grad_W2camada <- d_Jota * t(h)
grad_w6 <- mean(grad_W2camada[,2] )
grad_w5<- mean(grad_W2camada[,1])
# primeira camada
hlinha <- t(phi_linha(a))
W_2camada_vetorial <- cbind(rep(W2[1], n ),rep(W2[2], n ) )
# vieses 1 camada
grad_b <- d_Jota * W_2camada_vetorial * hlinha
grad_b2 <- mean(grad_b[,2])
grad_b1 <- mean(grad_b[,1])
# pesos primeira camada
grad_W4_3 <- grad_b * x[,2]
grad_W2_1 <- grad_b * x[,1]
grad_w4 <- mean(grad_W4_3[,2])
grad_w3 <- mean(grad_W4_3[,1])
grad_w2 <- mean(grad_W2_1[,2])
grad_w1 <- mean(grad_W2_1[,1])
c(grad_w1, grad_w2, grad_w3,
grad_w4, grad_w5, grad_w6,
grad_b1, grad_b2, grad_b3 )
}